บทที่ 7 การคำนวนทางคณิตศาสตร์

บทที่ 7 การคำนวนทางคณิตศาสตร์

   1. ตรรกศาสตร์

        คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์

    การใช้เหตุผล

       วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ
    1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”
    2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
    3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ” 

    แนวคิดที่มาและความสำคัญ

       ในชีวิตประจำวันของมนุษย์มีการใช้เหตุผลเป็นกระบวนการทางความคิด ที่พยายามแสดงว่าข้อสรุปควรเป็นที่ยอมรับเพราะมีเหตุผลหรือหลักฐานที่ดีมาสนับสนุน นอกจากนี้ เรายังต้องอธิบาย  การพิจารณาการตัดสิน เพื่อยุติปัญหาความขัดแย้งขัดแย้ง ยิ่งไปกว่านั้นมนุษย์ประสบความสำเร็จยิ่งใหญ่ในการใช้เหตุผลเป็นเครื่องมือแสวงหาความรู้ จนกลายเป็นความเจริญก้าวหน้าทางวิทยาการด้านต่างๆ เหตุผลจึงมีบทบาทสำคัญยิ่งในการดำเนินชีวิตของมนุษย์

     ปัจจุบันตรรกศาสตร์ (หรือตรรกวิทยา) (Logic) คือวิชาที่ศึกษา เพื่อแยกการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล ออกจากการให้เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผล นักปราชญ์ซึ่งเรายอมรับว่าเป็นบิดาของวิชาตรรกศาสตร์ คือ อริสโตเติ้ล(Aristotle, 384 – 322ก่อนคริสตศักราช) โดยอริสโตเติ้ล เชื่อว่ามนุษย์เท่านั้นที่สามารถคิดเกี่ยวกับเหตุและผลได้ ท่านได้เขียนตำราชื่อ Organum ซึ่งเกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ถูกต้อง หลักการของหนังสือเล่มนี้กลายมาเป็นหลักการของตรรกศาสตร์เชิงอนุมาน (Deductive Logic) ปัจจุบันตรรกศาสตร์เป็นวิชาแขนงหนึ่งที่มีการศึกษาและพัฒนามาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ  คำว่า   “ตรรกศาสตร์” มาจากภาษาสันสฤตว่า  “ตรฺก”  (หมายถึง  การตรึกตรอง  หรือความคิด)  รวมกับ “ศาสตร์”  (หมายถึง  ระบบความรู้)  ดังนั้น  “ตรรกศาสตร์  จึงหมายถึง  ระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิด”  โดยความคิดที่ว่านี้  เป็นความคิดที่เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผล  มีเกณฑ์ของการใช้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผล  นักปราชญ์สมัยโบราณได้ศึกษาเกี่ยวกับการให้เหตุผล แต่ยังเป็นการศึกษาที่ไม่เป็นระบบ  จนกระทั่งมาในสมัยของอริสโตเติล  ได้ทำการศึกษาและพัฒนาตรรกศาสตร์ให้มีระบบยิ่งขึ้น  มีการจัดประเภทของการให้เหตุผลเป็นรูปแบบต่าง ๆ ซึ่งเป็นแบบฉบับของการศึกษาตรรกศาสตร์ในสมัยต่อมา  เนื่องจากตรรกศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฏเกณฑ์ของการใช้เหตุผลจึงเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาในศาสตร์

     ดังนั้น คณิตตรรกศาสตร์ เป็นชื่อที่เปอาโน(paano) ใช้เรียกตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ ในแก่นแท้แล้วสาขานี้ก็ยังคงเป็นตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลอยู่ แต่ว่าเปลี่ยนมาใช้รูปแบบการเขียนในลักษณะเดียวกับพีชคณิตนามธรรม ความพยายามที่จะจัดการกับการดำเนินการต่าง ๆ ของตรรกศาสตร์รูปนัย ในเชิงสัญลักษณ์ หรือในเชิงพีชคณิตนั้น แม้จะได้มีขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ที่ค่อนไปทางนักปรัชญา เช่นไลบ์นิซ และแลมเบิร์ต แต่งานที่พวกเขาทำนั้นไม่เป็นที่รู้จักและกระจัดกระจาย   จนกระทั่งจอร์จ บูลและตามด้วยออกัสตัส เดอ มอร์แกน ในช่วงกลางของคริสต์ศตวรรษที่ 19 ได้นำเสนอวิธีการที่เป็นระบบเชิงคณิตศาสตร์ (ซึ่งยังไม่เป็นแบบเชิงปริมาณ) สำหรับตรรกศาสตร์   แนวทางการศึกษาตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลจึงได้ถูกปฏิรูปและถูกทำให้สมบูรณ์ จุดนี้ก่อให้เกิดการพัฒนาเครื่องมือ ที่สามารถใช้เพื่อศึกษามโนทัศน์พื้นฐานของคณิตศาสตร์ได้   คงจะไม่ถูกนักถ้าจะกล่าวว่าการโต้แย้งเชิงรากฐานที่มีขึ้นในช่วง ค.ศ. 1900 - 1925 ได้พบกับคำตอบที่น่าพอใจแล้ว แต่อย่างไรก็ตามตรรกศาสตร์ 'แนวใหม่' นี้ก็ได้ช่วยให้ความกระจ่างในด้านของปรัชญาคณิตศาสตร์เป็นอย่างยิ่งในขณะที่พัฒนาการตามแนวทางดั่งเดิมของตรรกศาสตร์ (ดูรายการบทความด้านตรรกศาสตร์) นั้น ให้ความสำคัญอย่างสูงกับ รูปแบบของการให้เหตุผล มุมมองของคณิตตรรกศาสตร์ในปัจจุบันกลับสามารถกล่าวได้ว่าเป็น การศึกษาเชิงการจัดกลุ่มของเนื้อหา (the combinatorial study of content) ซึ่งครอบคลุมถึงส่วนที่เป็น เชิงสังเคราะห์ (เช่น การส่งข้อความจากภาษาเชิงรูปนัยไปยังคอมไพเลอร์เพื่อเปลี่ยนเป็นภาษาเครื่อง) และส่วนที่เป็น เชิงความหมาย (การสร้างโมเดล หรือเซตของโมเดลทั้งหมดในทฤษฎีโมเดล) เมื่อเราได้รู้เกี่ยวกับวิวัฒนาการของตรรกศาสตร์แล้วและเราสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับชีวิตประจำวันได้ แม้เราจะใช้เหตุผลกันอยู่ทุกวัน แต่เหตุผลอาจไม่ใช่เหตุผลที่ถูกต้องเสมอไป เราจึงต้องรู้จักการใช้เหตุผลที่ถูกต้องและรู้จักวิวัฒนาการของตรรกศาสตร์ ซึ่งจะทำให้เรารู้จักการใช้เหตุผลมากยิ่งขึ้น เนื่องจากเรามักใช้เหตุผลตามความเคยชินโดยขาดหลักเกณฑ์และการพิจารณาอย่างรอบคอบ เป็นเหตุให้เกิดความสับสนระหว่างผู้พูดกับผู้ฟัง ดังนั้นเราต้องมีวิจารณญาณที่จะแยกแยะเหตุผลที่ดีออกจากเหตุผลที่ ไม่ดีได้  แต่บางครั้งการวิเคราะห์การอ้างเหตุผลต้องใช้หลักเกณฑ์มาช่วยในการพิจารณา การหากฎเกณฑ์มาวินิจฉัยการใช้เหตุผลว่าถูกหรือผิดอย่างไรนั้นเป็นเรื่องของตรรกศาสตร์(Logic) คือ ระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิด โดยความคิดที่ว่านี้ เป็นความคิดที่เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผล

   ประพจน์ (Proposition)
       ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น

    ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์
    จังหวัดชลบุรีอยู่ทางภาคตะวันออกของไทย ( จริง )
    5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ )
    ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์
    โธ่คุณ ( อุทาน )

    กรุณาปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้อง )

    ท่านเรียนวิชาตรรกวิทยาเพื่ออะไร ( คำถาม )

    ประโยคเปิด (Open sentence)
      บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง
ประโยคเปิด เช่น
    1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
    2. x + 5 =15
    3. y < - 6
ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
    1.10 เป็นคำตอบของสมการ X-1=7
    2.โลกหมุนรอบตัวเอง
    3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8

   ตัวเชื่อม (connective)
      1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย PÙ Q แต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริง P Ù Q  โดยตารางแสดงค่าความจริง (truth table) ดั้งนี้

P	Q	P Ù Q
T T F F	T F T F	T F F F

    ตัวอย่าง 5+1 = 6 Ù 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
    5+1 = 6 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
    5+1 = 1 Ù 2 น้อยกว่า 3 (เท็จ)
    5+1 = 1 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

       2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q  จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เรา

ให้นิยามค่าความจริงของ P V Q

     ตัวอย่างตารางค่าความจริง ดังนี้

P	Q	P V Q
T T F F	T F T F	T T T F

     ตัวอย่าง 5 + 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)              5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)
                5 + 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
                5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

       3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วย P®Q  นิยามค่าความจริงของ P®Q โดยแสดงตารางค่าความจริงดังนี้

P	Q	P®Q
T T F F	T F T F	T F T T

      ตัวอย่าง 1 < 2 ® 2 < 3 (จริง) 1 < 2 ® 3 < 2 (เท็จ) 2 < 1 ® 2 < 3 (จริง)
                 2 < 1 ® 3 < 2 (จริง)

      4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วยP«Q

นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q

P	Q	P«Q
T T F F	T F T F	T F F T

  2. ลอจิกเกต 

  ลอจิกเกตพื้นฐาน (BASIC LOGIC GATES)

เครื่องคอมพิวเตอร์ เครื่องคำนวณเลข และอุปกรษ์ทางดิจิตอลมากมายที่สามารถทำงานให้กับมนุษย์ ได้อย่างน่าอัศจรรย์นั้น ล้วนประกอบขึ้นจากออุปรณ์และวงจรทางดิจิตอล ที่มีการทำงานในลักษณะของลอ จิกและวงจรดิจิตอลนั้น จะมีส่วนประกอบพื้นฐาน คือ ลอจิกเกต (Logic gate) ซึ่งจะมีการทำงานเหมือนระบบ เลขไบนารี่ (มีเลข 0กับเลข 1) ดังนั้น บุคคลทึ่ต้องทำงานหรือเกี่ยวข้องกับระบบดิจิตอลอิเล็กทรอนิกส์ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจและใช้งานได้อย่างถูกต้องของการทำงานแบบไบนารี่ของลอจิกเกต (logic gate) ในส่วนนี้จะศึกษาการทำงานของลอจิกเกตพื้นฐาน เช่น AND, OR, NOT, NOR และ NAND เพื่อเป็นพื้นฐาน ในการสร้างวงจรลอจิกที่ซับซ้อนต่อไป

   ค่าคงที่ลอจิกและตัวแปรลอจิก (logic constants and logic variables)

พีชคณิตทางลอจิก ใช้สำหรับหาข้อเท็จจริงต่างๆ เกี่ยวกับการกระทำทางลอจิก ซึ่งจะแตกต่างกับพีชคณิต ทั่วๆ ไป ตรงที่พีชคณิตทางลอจิกประกอบด้วยชุดของตัวคงที่ และตัวแปรที่มีค่าได้เพียง 2 ค่าเท่านั้น คือ 0 และ 1ตัวแปรนี้ จะเรียกว่า ตัวแปรลอจิก (Logic variables) อาจแทนด้วยตัวอักษร เช่น A, B, C, a, b, c,... ฯลฯ

สำหรับค่าของตัวแปรลอจิกที่มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ที่เวลาต่างๆ กันนั้น เราจะเรียกว่า ระดับลอจิก (logic level) ดังนั้น ค่าระดับแรงดันไฟฟ้าของวงจรดิจิตอลที่ชั้วอินพุตและเอาต์พุตของวงจร เราสามารถแทนได้ด้วยระดับลอจิก เช่น ระดับแรงดันจาก 2 - 5 โวลต์ ให้มีค่าเป็นลอจิก 1 ดังนั้นค่าแรงดันในวงจรดิจิตอลจะมีระดับลอจิกเป็น0 หรือ 1 ก็ขึ้นอยู่กับค่าจริงของการทำงานของวงจร

   การกระทำทางลอจิกพื้นฐาน

สำหรับตัวแปรลอจิกดังที่ได้กล่างมาแล้ว เราสามารถนำมากระทำกันด้วยตัวกระทำทางลอจิกพื้นฐาน มี 3 แบบ คือ

   1. การคูณทางลอจิก เรียกว่า การคูณแบบ AND หรือ การกระทำ AND มีสัญลักษณ์ คือ เครื่องหมายคูณแบบจุด (.)

   2. การบวกทางลอจิก เรียกว่า การบวกแบบ OR หรือ การกระทำ OR มีสัญลักษณ์ คือ เครื่องหมายบวก (+)

   3. การคอมพลีเมนต์ทางลอจิก หรือการกลับค่า เรียกว่า การกระทำ NOT มีสัญลักษณ์คือขีดบน ( - )

   การกระทำ AND

ถ้ากำหนดให้ A และ B แทนตัวแปรอินพุตทั้งสอง ถ้าตัวแปร A มากระทำแบบ AND กับตัวแปร B ได้ผลลัพธ์ เป็ X ทำให้เขียนสมการ ลอจิก (ทางด้านเอาต์พุต x) ได้ดังนี้ 

X = A.B

จากสมการลอจิก เครื่องหมาย ( . ) ก็คือการคูณแบบ AND ซึ่งสามารถเขียนตารางความจริงและสัญลักษณ์ได้ดังรูปที่ 1 

รูปที่ 1 แสดงตารางความจริงและสัญลักษณ์ของ AND Gate

เมื่อพิจารณาจากตารางความจริง จะเห็นว่าการคูณแบบ AND เหมือนกับการคูณทางพีชคณิตธรรมดา เมื่อใดก็ตามที่ A และ B เป็น 0 จะได้ผลคูณเป็น 0 แต่ถ้า A และ B เป็น 1 จะได้ผลคูณเป็น 1 ดังนั้นจากเหตุผลดังกล่าว เราสามารถสรุปได้ว่า การกระทำแบบ AND นั้น จะได้ผลคูณ เป็น 1 ก็ต่อเมื่อ อินพุตทั้งหมดจะต้องเป็น 1สำหรับการณีอื่นๆ นอกจากนี้ จะได้ผลลัพธ์เป็น 0

 จากสมการ X = A.B อ่านว่า "X" เท่ากับ A AND B สำหรับเครื่องหมายคูณนั้น เราสามารถเขียนใหม่ให้เหมือนพีชคณิตธรรมดาจะได้ X = AB เนื่องจากว่าการกระทำแบบแอนเหมือนกับการคูณทางพีชคณิตธรรมดานั่นเอง

ถ้าเราจะให้ระดับลอจิกที่อินพุตควบคุม (ก็คืออินพุต B) เป็น 0 จะทำให้เอาต์พุต เป็น 0 สภาวะการทำงานในลักษณะนี้เรียกว่า Inhibit Condition แต่ถ้าเราให้อินพุตควบคุม (B) เป็น 1 ก็สามารถทำให้รูปคลื่น A ออกไปที่เอาต์พุตได้ เราเรียกลักษณะการทำงานนนี้ว่า Enable Condition

   การกระทำ OR

กำหนดให้ A และ B แทนตัวแปรอินพุตทั้งสอง ถ้าตัวแปร A มากระทำแบบ OR กัน กับตัวแปร B ได้ผลลัพธ์เป็น X ทำให้สามารถเขียน สมการลอจิก (ทางเอาต์พุต) ได้ดังนี้ 

X = A+B

จากสมการลอจิก เครื่องหมาย + ไม่ใช้เป็นการบวกเลขแบบธรรมดา แต่จะเป็นการบวกแบบ OR ซึ่งสามารถเขียนเป็นกฎเกณฑ์ได้ตามตารางความจริง 

                            

รูปที่ 2 แสดงตารางความจริงและสัญลักษณ์ของ OR Gate

จากตารางความจริง จะเห็นว่าเหมือนกับการบวกเลขธรรมดา เช่น 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, ยกเว้นในกรณีเมื่อA = B = 1 จะได้ผลบวกเป็น 1+1=1 (ไม่ใช่เป็น 2 เหมือนกับการบวกเลขแบบธรรมดา) ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าการบวกแบบ OR จะให้ผลลัพธ์ ที่เอาต์พุตเป็น 1 ก็ต่อเมื่อ ตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งที่อินพุตเป็น 1 และจะให้ผลลัพธ์ที่เอาต์พุตเป็น 0 ก็ต่อเมื่อตัวแปรที่อินพุตทั้งหมด เป็น 0เท่านั้น

จากสมการลอจิก X=A+B อ่านว่า "X" เท่ากับ A OR B สิ่งที่สำคัญก็คือ เครื่องหมาย + หมายถึงการบวกแบบ OR ไม่ใช่การบวกเลขแบบธรรมดา

   การกระทำ NOT

ตัวกระทำ NOT ไม่เหมือนตัวกระทำ OR และ AND ตรงที่ตัวกระทำ NOT ใช้กับตัวแปรอินพุตเดียว เช่น ถ้าให้ A แทนตัวแปรที่ป้อนอินพุต ของตัวกระทำ NOT และได้ผลลัพธ์เป็น X ทำให้เขียนสมการลอจิก (ทางเอาต์พุตX) ได้ดังนี้ 

ซึ่งสัญลักษณ์ขึด (bar) บนตัว A จะแทนการกระทำ NOT สมการ X = อ่านว่า "X" เท่ากับ NOT Aหรือ "X" เท่ากับส่วนกลับของ A หรือ "X" เท่ากับคอมพละมนต์ของ A หรือ "X" เท่ากับ A bar 

รูปที่ 3 แสดงตารางความจริงและสัญลักษณ์ของ NOT Gate

จากตารางความจริง จะเห็นได้ว่าลอจิกทางเอาตะพุต ของ X = จะมีค่าตรงข้ามกับขอจิกทางอินพุตของ Aเช่น 

ถ้า A = 0, X = เพราะ NOT 0 คือ 1
ถ้า A = 1, X = เพราะ NOT 1 คือ 0

สัญลักษณ์ของตัวกระทำ NOT (NOT Gate) หรืออินเวอร์เตอร์ (Inverter) ซึ่งจะมีอินพุตเพียงอันเดียว และค่าระดับลอจิกทางเอาต์ พุตจะตรงกันข้ามกับค่าระดับลอจิกทางด้านอินพุตเสมอ

   เกตนอร์และเกตแอนด์ (NOR Gate and NAND Gate)

มีลอจิกเกตอีก 2 ประเภท คือ NOR Gate และ NAND Gate ที่ใช้กันย่างแพร่หลายในวงจรทางดิจิตอล ซึ่งเกตดังกล่าวนี้ แท้จริงล้วก็คือ รวมการกระทำพื้นฐานของเกต AND, OR และ NOT ไว้ด้วยกัน ซึ่งทำให้การอธิบายการทำงานทางคณิตศาสตร์ทางลอจิกง่ายขึ้น

   เกตนอร์ (NOR Gate)

สัญลักษณ์ของ NOR Gate ที่มี 2 อินพุต ซึ่งการกระทำของ NOR Gate จะมีค่าเท่ากับการนำ OR Gateมาต่อร่วมกันกับ NOT Gate ดังนั้นจึงเขียนสมการสำหรับเอาต์พุตของ NOR Gate ได้ดังนี้ 

จากสมการลอจิกจะเห็นว่า NOR Gate มีการกระทำแรกเป็นการกระทำ OR ของอินพุตและการกระทำ NOTบนผลบวกแบบ OR เป็นการกระทำที่สอง

สำหรับสัญลักษณ์ของ NOR Gate จะจำง่าย เพราะจะใช้สัญลักษณ์ของ OR Gate ร่วมกับวงกลมเล็กที่ปลายเอาต์พุต วงกลมเล็กนี้แสดงการกระทำ NOT (การกลับค่า)

จากตารางความจริงของ NOR Gate จะเห็นว่าเอาต์พุตของเกต NOR ในแต่ละกรณีจะมีค่ากลับกันกับเอาต์พุตของเกต OR กล่าวคือ เอาต์พุตของเกต OR จะมีค่า High ก็ต่อเมื่ออินพุตใดๆ มีค่า High แต่เกต NOR มีเอาต์พุตเป็น Low เมื่ออินพุตใดๆ เป็น High 

รูปที่ 4 แสดงตารางความจริงและสัญลักษณ์ของ NOR Gate

   เกตแนนด์ (NAND Gate)

สัญลักษณ์ของ NAND Gate ที่มี 2 อินพุตซึ่งการกระทำของ NAND Gate จะมีค่าเท่ากับการนำ AND Gate มาต่อร่วมกันกับ NOT Gate ดังนั้นจึงเขียนสมการลอจิกสำหรับเอาต์พุตของ NAND Gate ได้ดังนี้ 

จากสมการลอจิกของ NAND Gate จะเห็นว่ามีการกระทำแรกเป็นการกระทำ AND ของอินพุต และการกระทำ NOT บนผลคูณแบบ AND เป็นการกระทำที่สอง

สัญลักษณ์ของ NAND Gate จะใช้สัญลักษณ์ของ AND Gate ร่วมกับวงกลมเล็กที่ปลายเอาต์พุต วงกลมเล็กนี้แสดงการกระทำ NOT (การกลับค่า)

ตารางความจริงของ NAND Gate เอาต์พุตของเกต NAND ในแต่ละกรณีจะมีค่าตรงข้ามกับเอาต์พุตของเกตAND กล่าวคือ เอาต์พุตของ AND เป็น High ก็ต่อเมื่ออินพุตทั้งหมดมีค่าเป็น High แต่เกต NAND มีเอาต์พุตเป็นLOW เมื่ออินพุตทั้งหมดมีค่าเป็น High 

รูปที่ 5 แสดงตารางความจริงและสัญลักษณ์ของ NAND Gate

   Exclusive OR Gate

Exclusive OR Gate คือ Gate ที่ให้ Output เป็น Logical 1 ก็ต่อเมื่อ Input มี Logical ต่างกัน และจะให้ Output เป็น Logical 0 ก็ต่อเมื่อ Input มี Logical เหมือนกัน เราสามารถเขียนสมการลอจิกสำหรับเอาต์พุต ตารางความจริง (Trute table) และสัญลักษณ์ของ Exclusive OR Gate ได้ดังนี้ 

รูปที่ 6 แสดงตารางความจริงและสัญลักษณ์ของ Exclusive OR Gate